Ich rechne zudem mit der Federspannung, welche aber identisch ist mit einer Bogenspannung. Die Federkonstante ist α und ich hoffe sie rechnet sich raus.
Die Kraft der Federspannung errechnet sich aus der Federkonstanten α und der zurückgelegten Strecke s, gleichbedeutend mit der Auslenkungsstrecke F = α × s.
Damit gilt:
 Negative Kraft da beim Spannen eine Kraft nach hinten ausgeübt wird.
 Kraft ist die Masse mal die Beschleunigung
Wir wissen das die Beschleunigung die zweite Ableitung der Strecke ist.
Daraus folgt: 
Nun setzen wir das ganze gleich und stellen die Gleichung um und erhalten die Differenzialgleichung
Nun haben wir eine normierte und homogene Differentialgleichung 2.Ordnung. Diese lösen wir nun.
Wir rechnen nun aus was C1 und C2 sind. Wenn der Bogen gespannt ist, ist die Geschwindigkeit 0 und die Zeit auch 0. Da die Geschwindigkeit die erste Ableitung der Strecke ist können wir sagen s´(0) = 0.
Damit bleibt übrig:
Wir wissen nun, dass die Geschwindigkeit V die erste Ableitung von s ist.
Um das zu lösen müssen wir wissen was t ist. Um das zu errechnen schauen wir uns mal die Funktion an. Es handelt sich im eine Sinus-Funktion. Diese errechnet ihr Maximum bei ½ π. Bei einem Maximum ist die Steigung 0. Zwar geht die Kurve danach weiter aber, dass interessiert uns nicht weiter, da der Pfeil nun keine Kraft mehr vom Bogen erhält.
Ich schreibe hier für die innere Ableitung β da sie unerheblich für uns ist. Diese Funktion wird 0 wenn der Cosinus Null wird. Das ist bei ½ π der Fall.
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Nun setzen wir das in V(t) ein um zu errechnen welche Geschwindigkeit der Pfeil hat. Wie ihr nun seht haben wir mehrere Probleme. Während man s0 durch die Pfeillänge und m durch das Gewicht eines Pfeils noch relativ gut schätzen kann verschwindet aber unsere Auslenkungsstrecke α nicht. Dafür bedienen wir uns eines kleinen Tricks. Wir wissen das F=m x a ist. Daraus leiten wir F0= α x s0 ab das ist. Nun haben wir α = F0/ s0. Das setzen wir ein und erhalten:
F0 = Zugkraft des Bogens in Newton
S0 = Spannweite des Bogens, etwa 80% der Pfeillänge (55-85 cm je nach Armlänge)
m = Gewicht des Pfeils
Wenn wir uns die Formel anschauen, erkennen wir das die Masse des Geschosses zwar Einfluss auf die Geschwindigkeit und damit auch Reichweite hat, aber für die Energie und damit die Durchschlagskraft eines Geschosses unerheblich ist. Der Grund dafür liegt in der Geschwindigkeit. Der Durchschlagszuwachs durch das Gewicht wird durch die geringere Aufprall-geschwindigkeit annulliert und umgekehrt.
Ausschlaggebend für die Durchschlagleistung eines Pfeiles oder Bolzens ist damit die Spannkraft und die Beschleunigungsstrecke (Auslenkungsstrecke). So kann z.B. bei einem Kompositbogen oder einer Armbrust der Beschleunigungsweg kürzer sein als bei einem Langbogen, aber durch die Spannkraft kann das gut ausgeglichen werden, da beide Faktoren gleichstark gewichtet werden.
Wenden wir die Formeln mal auf ein praktisches Beispiel an. Ein Langbogen hat eine Spannkraft von durchschnittlich 100 Pfund. was 45,4 kg entspricht. 45,4 kg sind 454 N. Das Gewicht eines Holzpfeils schätzen wir auf 60g. Da die Länge es Pfeils abhängig ist von der Armlänge nehme ich hier mal 65 cm als Maß, da die Menschen damals kleiner gebaut waren als heute. Damit wurde der Bogen idealerweise 60 cm nach vorne geschoben. Eingesetzt in die obige Formel erhalten wir damit eine Fluggeschwindigkeit von 67,4 m/s (242 km/h) und eine Energie von 136,2 Joule.
Ein Kompositbogen mit 165 Pfund (750 N), 50g Pfeilgewicht und 50 cm Zugstrecke hätte eine Geschwindigkeit von 86,6 m/s (312 km/h) erreicht und eine Energie von 187,5 Joule gehabt.
Der oben angeführte Holzbogen mit 30 Pfund Zugkraft hätte nach diesen Formeln beim gleichen Pfeil und Zug wie beim Kompositbogen eine Geschwindigkeit von 36,9 m/s (132,8 km/h) erreicht und eine Energie von 34 Joule aufgewiesen.
Da die Zugkraft einer Armbrust je nach Zugmechanismus, Bogen und Bauart stark variieren konnte, nehme ich für eine Beispielrechnung einen Stahlbogen mit 400 kg Zugkraft. Da Bolzen meistens kleiner waren als Pfeile rechne ich mit einem 30 cm langen Bolzen der jedoch mit 120g schwerer als ein Pfeil ist. Die Zugstrecke lege ich mit 25 cm fest. Damit hätte ein Armbrustbolzen eine Geschwindigkeit von 91,3 m/s (328 km/h) und eine Energie von 500 Joule erreicht. An diesem Beispiel sehen wir, das ein Bolzen der das doppelte eines normalen Pfeils wiegt, trotz der immens hohen Zugkraft von 4.000 N lediglich die Fluggeschwindigkeit eines mit 750 N abgefeuerten Pfeils eines Kompositbogens erreicht. Dafür aber aufgrund der großen Zugkraft eine verheerende Energie aufweist. Um zu verdeutlichen wie stark 500 Joule sind: Die berühmte 9mm Luger der Wehrmacht im 2. Weltkrieg verschoss ihre Kugeln mit 500 Joule Energie. Nicht umsonst gibt es in den USA noch heute eine Spezialeinheit, die mit
modernen Armbrüsten schießt.
Aufgrund der Komplexität und weil ich schlichtweg keine Formeln dafür finde, kann ich euch leider nicht sagen wie viel Stahl diese Pfeile durchschlagen hätten.
Informationen aus dem Internet waren teilweise so hoch das selbst der Bolzen der Stahlarmbrust gerade so eine 3 cm Stahlrüstung durchschlagen hätte, obwohl wie oben geschrieben eine Luger mit gleicher Energie sicher keine Probleme damit gehabt hätte. Sollte ich bis zur Veröffentlichung oder zur nächsten Ausgabe die Lösung haben, werde ich sie nachreichen.
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